거시적인 양자 성질은 관측하기 어렵다

[주의: 글쓴이는 물리학적인 지식이 굉장히 부족하다. 그래서 아래 설명 중 세부적인 부분이나 이론적 배경, “썰”이 좀 틀릴 수 있다. 혹시 문제가 되는 부분을 발견하면 지적바람 -_-ㅋ]

아마 이 블로그의 독자들은 슈뢰딩거의 고양이 사고실험에 익숙할 것이라고 믿는다. 이 실험은 고양이를 외부와 차단된 방에 넣은 후, 0 또는 1의 상태를 가지는 입자를 (normalizing factor를 생략한) 다음과 같은 양자상태

|0〉+|1〉

로 만들고, 상태가 0일때 고양이를 죽이는 가스를 살포하고 1일때 아무일도 하지 않아 고양이의 상태를

|Dead〉+|Alive〉

으로 만드는 실험이다. 즉 주어진 입자의 양자상태에 따라 고양이의 삶과 죽음이 중첩되는 이상한 일이 벌어진다는 것이다. 지금 보니 굉장히 잔인하다 -_-…

여튼 원래 이 실험은 슈뢰딩거가 양자역학의 역설적인 부분을 지적하기 위해 제시했다고 한다. 지금은 아이러니하게 양자역학을 설명하는 대표적 실험으로 자리잡았지만 말이다ㅋㅋㅋ

대중적으로 설명될 때 이 실험은 사실 양자역학이 아니라 확률론적인 관점에서 설명이 된다. 즉, 입자의 상태가 양자상태로 중첩되어있는 (superposition) 설명이 아니라, 50%의 확률로 0, 50%의 확률로 1의 상태를 갖고 이에 따라 고양이도 50%의 확률로 살고 죽는다는 식의 설명. 근데 이 설명은 (예측불가능한) 난수가 있는 비결정론적(확률론적) 세계관에 더 가깝지, 양자역학적 세계관의 설명이 아니다!

여기서 다음과 같은 질문이 떠오른다:

슈뢰딩거의 고양이 실험, 혹은 비슷한 거시적인 실험으로 양자적 성질을 확인할 수 있을까?

물론 학자들은 우리 세계가 양자역학으로 잘 설명된다는 것은 이런저런 미시적 실험을 통해 이미 잘 이해했다. 그치만 이런 상상도 궁금하지 않은가 ㅋㅋ

며칠 전 (!) 이 문제에 대한 대답을 하는 논문 [1]이 올라왔다. 저자는 양자컴퓨터의 대가의 스콧 아론손과 끈이론, 우주론 등으로 유명한 레나드 써스킨드, 그리고 Yosi Atia라는 학생. 그들에 따르면 아마 그런 실험적 증명은 불가능할 것이라고 한다. 아론손의 발표는 [2]에서 확인할 수도 있다.

논문에서 설명하는 정확한 이유는 다음과 같다. 우선 슈뢰딩거의 고양이 실험에 해당하는 양자상태

|Dead〉+|Alive〉

와 이를 고전적으로 설명하는 (1/2로 살고 죽는) 확률론적 상태

[(1/2,|Dead〉), (1/2,|Alive〉)]

를 최적의 확률로 구별하는 양자회로 U가 존재한다고 가정하자. 그러면 이를 이용해서 비슷한 크기의, 다음 식을 만족하는 다른 양자회로 V를 만들수 있기 때문이라고 한다.

V|Dead〉=|Alive〉, V|Alive〉=|Dead〉

(물론 이건 엄청 간단하고, 저자들은 더 강력하게 이 명제가 정확하지 않은 측정 (즉, 특정확률로 틀리는 회로)에 대해서도 비슷하게 성립한다는 robustness와 그것의 tightness도 증명하였다.)

근데 이 회로 V의 결과를 보면 “죽음”과 “삶”을 바꾸는 연산이다. 즉, 죽은 고양이를 살리는 연산 (!!)이라는 것이다. 우리 세상에서는 이러한 연산이 (최소한 현실적으로는) 불가능할 것으로 보이고, 따라서 관찰자도 거시적인 고양이의 상태가 양자적인지 고전적인지 구별하기 어렵다는 것이다. 이에 따라 저자들은 거시적 실험을 통해 양자상태를 확인하는게 양자사령술만큼 어려운 문제라고 주장한다 ㅋㅋㅋ

비슷한 거시적 실험을 들고와도 두 상태는 확연히 구별될테고, 이를 바꾸는 것은 보통 쉽지 않으니 거시적 관점에서 양자상태를 확인하기 어렵다고. 예를 들어 고양이 대신 친구(!)를 넣고 그 측정 결과를 위그너의 친구 실험이 있는데, 이 경우에도 친구가 양자상태에 있는지 확률론적으로 있는지를 구별하려면 친구의 생각을 바꾸는 연산이 필요하다고.

이 해석을 좀 더 다양한 물리학적/철학적 관점으로 일반화 시키면, 만약 우리가 양자적으로 다중우주에 산다고 해도, 우리가 그 우주의 상태를 서로 바꿀 수 없다면 우리가 다중우주에 산다는 것을 경험/확인할 방법이 없다는 뜻을 가진다고 한다. (무슨말인지 사실 잘 모르겠지만..) 우리가 열역학적인 시간의 방향(Thermodynamic arrow of time)을 따른다면, 우리가 이를 반대방향으로 돌릴 능력이 없다면 이를 확인/경험한할 방법이 없다고.

물리학이란 아무리 봐도 참 신기하다 ㅋ. 아론손의 6월 발표를 담은 유튜브 [2]도 좀 참고하였다.

[1] On the Hardness of Detecting Macroscopic Superpositions, arxiv.org
[2] Schrödinger’s Cat and Quantum Necromancy, Workshop on Complexity from Quantum Information to Black Holes (Online, youtube record)

양자컴퓨터에 대한 최근 예측들

요 며칠간 양자컴퓨터의 미래에 대한 의견이 두개 등장했다. 하나는 IBM의 단기간 (수년)에 대한 긍정적인 주장 [1]이고, 다른 하나는 장기간 (수십년)에 대한 약간은 부정적인 예측 [2]이다. 약간은 상반된 것 같은데, 여기 아주아주 간단히 기록해본다. 사실 두 논문 모두 이론적인 설명이라기보단 주장/홍보나 지금까지의 발전에 의한 수치적 예측이여서 뭐 이론적으로 설명할 것이 없음 ㅋㅋ

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우선 IBM은 최근 2023년까지 1121 qubit ㅡㅡ!의 크기를 갖는 양자컴퓨터를 발표할것이라고 발표했다. 아래는 IBM의 로드맵.

IBM’s roadmap to advance quantum computer. Taken from IBM blog

아니 뭐 IBM 블로그에 올라온 그림이 안선명하냐 -_-… 뭐 대충 1년에 2배이상의 큐비트를 다룰수 있는 양자컴퓨터를 설계하겠다는 주장인듯 하다. 근데 구글인가 어디에선가 누가 오류율(error rate)가 없는 큐비트에 대한 주장은 믿지 마라 그랬는데 ㅋㅋㅋ 그냥 간단한 소개글이라 그런지 딱히 오류율에 대한 얘기는 없다. 물론 저 큐비트들이 에러가 적은건 아닐테고, Sycamore랑 비슷하거나 더 심한 수준이 아닐까 싶다.

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그 다음 주장은 NTT Research와 영국 애버딘 대학의 연구자의 결과로써, 지금까지의 발표된 연구결과를 바탕으로 통계적으로 양자컴퓨터의 미래를 예측하는 논문이다. 이런 미래를 예측하는게 아예 없었던건 아니고, 이전에 몇 개가 있었다고 한다. 두 개만 비교를 위해 살짝 들고와서 비교하자.

• 스탠포드의 마크 호로위츠(Mark Horowitz)와 Emily Grumbling은 2019년 출판된 책에서 RSA-2048이 2020년대에 깨질일은 없을것이라고 추측했다고 한다 (It is highly unexpected that..). 그리고 여러 예측을 했다는데 파는 책이라서 딱히 찾아보고 싶지는 않다 -_-.
• 워털루대학의 미셸 모스카(Michele Mosca)와 마르코 피아니(Marco Piani)는 연구자들에 대한 설문조사를 진행했는데, 22.7%의 학자가 RSA-2048이 2030년 내에 깨질것이라고 생각했고, 50%의 학자가 2035년까지는 깨질것이라고 생각했다고 한다. 아래가 해당 논문의 예측인듯.

• 이 논문에서는 통계적 추측을 통해 조금 더 부정적인 주장을 한다. 2026년까지는 (에러정정부호등을 이용해서) 오류율을 굉장히 작은 (10^-18정도인듯) 하나의 큐비트를 만들 확률이 5%이하라고 예측했다. 그리고 2039년까지도 RSA-2048을 양자컴퓨터를 이용해 깰 확률이 5%이하라고 예측했다. 다만 이는 최근 50여개의 샘플논문을 통한 예측이긴 하다. 물론 이 보다 빠르려면 뭔가 새로운 혁신이 필요할 것이라고. 그게 그렇게 자주 나오려나 -_-? 아래는 2023년까지 달성할것으로 예측하는 양자컴퓨터의 범위.

가로축은 큐비트의 수, 세로축은 오차율을 나타낸다. 그래프 내의 숫자는 확률. 즉, 90%이내의 확률로 2023년의 양자컴퓨터는 100큐비트정도를 달성할 것이라는 것.

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신기하게도 2023년에 대한 두 예측이 완전 딴판이다 ㅋㅋ 3년 후면 확인할 수 있으니 그저 기다려본다.

[1] IBM’s Roadmap For Scaling Quantum Technology, IBM blog
[2] Forecasting timelines of quantum computing, arxiv.org

MS의 수중 데이터센터

Arstechnica의 기사 따르면 [1] (2차출처 [2], 3차출처 [3]) 마이크로소프트에서 추진한 수중 데이터센터 실험이 성공적으로 이루어졌다고 발표되었다고 한다. 2018년 처음으로 해저에 넣어져 이번에 꺼낸 모양이다.

해저에 서버를 넣을 때 가장 걱정이 되던 부분은 에러같은 부분을 잘 조절할 수 있느냐였던 모양이다. 왜냐면 큰 에러가 나면 사람이 고치러 가기 힘드니까 -_-. 하지만 서버가 담긴 탱크를 질소로 채운 모양인지, 훨씬 안정되어 보통 서버의 1/8정도의 에러만 냈다고 한다. 게다가 서버를 식히는 등의 문제는 감싼 해저의 온도가 대부분 해결해 준듯.

한국에서는 크게 신경쓰지 않는듯 하지만, (사실 쓰레기장 문제로 알게모르게 커져가는듯 하다.) 환경 문제는 해결하기 쉽지 않아보이는 문제이다. 한국은 에어컨을 굉장히 많이 쓰는것 같은데, 이런 인간의 접촉이 적으며 냉각기술/공간이 많이 필요한 서버 등의 물체를 해저로 내리는 것은 굉장히 훌륭한 생각인듯. 과거 많은 애니메이션에서 달 뒤를 서버로 쓰는 등을 보여주었다고 하는데, 어쩌면 멀지 않았을지도 모른다 ㅋㅋ

[1] Microsoft declares its underwater data center test was a success, Arstechnica
[2] MS의 수중 데이터센터 프로젝트, 2년만에 성공 선언, Gigglehd.com
[3] MS의 수중에 처박은 서버..2년후 결론을 보고 느낀점, pgr21.com

인공지능을 이용한 정리 증명: GPT-f

지난번 일반적 대화 인공지능 GPT-3에 대한 글을 두 개나 포스팅 한 적 있다[1,2].이번에는 해당 모델 (GPT)를 이용해 수학 정리 증명을 하는 인공지능을 만들었다는 소식이 들려온다[3,4]! 논문[5]을 아주아주 간단히 훑어보고 정리해본다 ㅋ

정지하는 튜링머신의 종료시간을 예측할 수 있을까?

이 블로그의 독자라면 아마 정지 문제(halting problem)이 결정불가능한 문제(undecidable problem)라는 것을 잘 알것이다. 그러니까 주어진 튜링머신 M과 입력값 x를 보고 이에 해당하는 M(x)의 튜링머신 계산이 정지할지 아닐지를 결정하는 문제는 임의의 알고리즘을 들고와도 풀 수 없다는 말. 이제욱씨의 페이스북 글이 괴델의 불완전성 정리와 정지 문제를 잘 엮어 설명해준다.

어찌보면 정지 문제를 푸는 것은 너무 야심찬 계획이였다는 말. 임의의 튜링머신과 입력값은 너무나 많다. 어쩌면 임의의 튜링머신이 아니라 적절한 한계가 있는 튜링머신을 생각하면 뭔가 나은 점이 있지 않을까? 예를 들어

정지하는것이 보장된 튜링머신이 있을때,
이 기계가 언제쯤 종료하는지 예측할 수 있을까?

정지하는 튜링머신은 훨씬 좋은 조건이지만, 거기서 우리의 문제는 정지시간의 예측이라는 약간 강한것으로 바뀌었다. 이게 효율적으로 가능하다면 실제 생활에의 응용, 예를 들어 여러 휴리스틱하거나 재귀적인 알고리즘의 종료시간 등을 먼저 예측하는 것도 가능해진다.

하지만 안타깝게도 답은 불가능하다이고, 우리는 위 문제보다 강한 다음 문제가 결정불가능함을 증명할 것이다.

다항식 시간 안에 끝나도록 보장된 튜링머신 M과 정수 k가 있을 때,
입력값의 길이 n에 대한 M의 점근적 실행시간이 O(n^k)인지 결정할 수 있는가?

[증명] (Proof in TCS stack exchange by Emanuele Viola)

주어진 문제가 정지 문제보다 어려움을 보이면 충분하다. 정지문제의 인스턴스 (M,x)에 대해 우리는 다음과 같이 행동하는 새로운 튜링머신 M’을 만들것이다:

• 입력값의 길이 n에 대해 M(x)를 n번째 스텝까지 계산해본다. 만약 M(x)가 종료됨을 확인했다면 n²스텝까지 아무 계산이나 하고 마친다.
• 그렇지 않다면 n³스텝까지 아무 계산이나 하고 마친다.

이 M’=(M,x)은 어느 경우에나 n³스텝 안에 종료되니 다항식시간에 마치는 튜링머신이고, M,x는 n과 관계없는 인스턴스이므로 M(x)가 종료된다면 이는 t=O(1)시간에 종료된다고 말할 수 있다. (즉, n과 무관한 종료시간을 갖는다.) 따라서 M’의 점근적 시간은 (M,x)가 M(x)가 유한시간에 종료된다면 O(n²)이 되고, 그렇지 않다면 O(n³)이 되는것.

즉, 주어진 문제를 k=2에 대해 풀 수 있으면 정지 문제를 풀 수 있다. 다시말하면 주어진 문제는 결정 불가능하다.

이를 일반적으로 좀 더 연구한 이런 저런 논문들도 있는듯하다. 대충 결론은 M의 시간복잡도가 nlogn만 되어도 확인이 불가능하고, 이거보다 약간만 작아도 확인이 가능한듯.

GPT-3는 생각하지 않는다

지난 글에서 GPT-3에 대해 얘기를 이미 했다. 보통 같은 주제에 대해서 이론적 고찰이 없는 여러 글을 쓰지는 않지만, GPT-3는 꽤나 흥미롭게 따라가는 주제여서 기록해둔다.

아래는 MIT Tech Review에 Robust.AI의 창립자인 Gary Marcus와 NYU의 교수 Ernest Davis가 기고한 글에서 발췌/번역한 GPT-3의 “생각하지 않음”을 증명하기 위해 만든 예시들이다. 보통 글씨는 GPT-3의 입력문, 굵은 글씨는 GPT-3의 대답. 기울어진 글씨는 저자들, 혹은 내 생각이다. (GPT-3는 원래 대화가 아니라 “이어지는 문장”을 만드는 기계학습 모델임을 기억하자!) 또한 번역 과정에서 GPT-3의 대답이 나뉜 부분들이 있는데, 이건 번역상의 문제이고 GPT-3는 연속된 문장만을 대답했다.

구글의 랜덤회로샘플링은 좋은 평가기준일까?

작년 화제가 된 구글의 양자우월성 증명은 양자랜덤회로를 만들고, 그 결과를 측정(measure)하여 얼마나 올바른 분포를 만들었는지를 관측하는 XEB Fidelity benchmark를 사용했다. 지난번 관련된 글을 두개 써서 현황을 설명하기도 했다.

그런데 실제로 우리가 쓸 것으로 예상되는 회로들은 Grover의 알고리즘이나 HHL의 선형방정식 알고리즘, 양자 머신러닝, Shor의 알고리즘등 같은 연산을 반복하거나 (Grover, HHL) 비슷한 연산을 반복하는 양자 Fourier 변환등을 이용하게 된다. 즉, 우리가 실제로 쓸 연산은 랜덤회로와 달리 굉장히 구조적이라는 것.

그렇다면 과연 구글의 양자랜덤회로 샘플링을 통한 평가가 우리가 실제로 쓸 것으로 예상되는 “구조적”인 알고리즘을 평가하는데에 얼마나 도움이 될까? 가장 이상적으로는 랜덤회로나 구조적인 회로나 비슷한 수준의 에러를 갖거나, 구조적인 회로가 더 적은(!)에러를 갖는 경우일 것이다.

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하지만 안타깝게도, 어제 아카이브에 올라온 논문에 따르면 실제로는 그 반대인듯 하다고 한다. 즉,

현재 기술로는 양자랜덤회로 샘플링이 구조적 알고리즘보다 쉽다

라는 것. 그러니까, 양자랜덤회로의 에러가 구조적 알고리즘의 에러보다 더 작다는 말.

다만 이 실험은 구글의 Sycamore가 아닌, 실험하기 더 쉬운 IBM Q와 Rigetti의 양자컴퓨터를 이용해서 진행했다고 하니 Sycamore의 경우는 어떤지 아직 알수는 없다. 그 실험적 결과는 아래와 같다.

논문에서 가져온 그림. 오른쪽 그래프는 보지 않아도 된다. (a), (b)에서 각 칸은 실험에서 사용한 큐비트 수(width)와 회로의 깊이(depth)에 따라 배치되었으며, 내부의 색은 랜덤회로의 정확성, 외부의 색은 구조적 회로의 정확성을 나타낸다. 붉을수록 부정확하고, 푸른색/녹색일수록 정확함을 표시한다. (a)는 실험 결과에서 나타난 정확성이고, (b)는 서버에서 제시한 회로의 오차를 통해 예측한 정확성.

위 그림을 살펴보면 꽤나 부정적인 결과를 여럿 얻을 수 있다.

• 전체적으로 회로의 정확성이 예측보다 훨씬 못한 편이다.
• 대체적으로 구조적 회로가 랜덤회로보다 훨씬 부정확하다. (가끔 그렇지 않은 경우도 있긴 하다)
• 7큐비트정도부터는 depth를 조금만 늘려도 전부 다 제 멋대로 나오는듯 하다.
• IBM Q Melbourne은…. 뭔가 문제가 있어 보인다.

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근데, 지난 글에서 구글의 실험 자체가 옳은지를 검증하는게 어렵다는 말을 한적이 있다. 이 논문에서 어떻게 구조적 회로와 랜덤회로의 정확성/에러를 확인한걸까? 마지막으로 논문에서 이 부분을 어떻게 해결했는지 살펴보자.

저자들이 사용한 방식은 거울회로, 혹은 실험에 사용한 회로 C의 역인 C^-1, 혹은 그의 변형을 생각하는 것이다. 논문에서는 다음과 같이 그림으로도 설명해준다.

대충 원래 적용한 회로의 역, 혹은 그거를 약간 변형한 방식을 한번 더 적용함으로써 답이 고전상태로 정해지는 독특한 회로를 만든것.

이 회로의 결과는 고전컴퓨터로 계산/검증이 쉽지만 에러가 있는 양자컴퓨터로는 계산하기 어렵다. 어찌보면 양자우월성에서 필요했던 회로의 듀얼 버젼인데, 이걸 이렇게 간단히 만들 수 있다는 사실이 신기하군ㅋ

악의적 비서 문제

n명의 후보자가 순서대로 면접을 보러 오는 상황에서, 각 면전에서는 각 후보자의 점수를 정확히 알 수 있고, 그 점수를 바탕으로 후보자의 합/불 여부를 면접하는 즉시 결정하여 최고의 점수를 가진 후보자를 뽑는 비서 문제에 대해서는 다들 들어보았으리라고 믿는다.

보통의 문제에서 (거의) 최적의 전략은 n명중 약 n/e을 먼저 확인하여 최고점을 측정한 후 나머지 사람중 그 점수를 넘는 사람을 고르는 것. 이러는 경우 약 1/e의 확률로 최고점수의 사람을 고를 수 있다는 것은 잘 알려져 있다.

사실 이 문제는 최근 많은 주목을 받고 있는, 데이터를 연속적으로 받는 온라인 알고리즘 혹은 스트리밍 알고리즘의 한 문제로 볼 수 있다. 그리고 이런 문제들은 데이터를 악의적으로 조작한 상황에 얼마나 우리가 잘 해낼 수 있는지를 많이들 궁금해 한다. 즉, 다음과 같은 상황을 생각해 볼 수 있다.

경쟁사에서 첫 후보자로 (다른 모든 후보를 뛰어넘는) 엄청난 능력자를 보내는 경우, 이 전략은 100%로 실패하게 된다!! 혹은 몇몇 후보자들이 회사가 이 전략을 쓴다는 것을 아는 순간 그 후보자들은 후반 순서를 받기를 원할 것이고, 이 경우에도 뭔가 이상해 질 것이고. 또, 만약 한 명이 아니라 여러명의 비서를 뽑고싶다면 어떻게 될까?

이러한 상황이 악의적 비서 문제, 혹은 음모적(Byzantine) 비서 문제라고 한다. 과연 이런 악의적으로 정해진 상황에서 훌륭한 비서를 뽑을 수 있을까? 이 글은 이 문제에 대한 ITCS 2020에 발표된 논문의 결과를 소개하는 것이 목표이다. 아쉽게도 알고리즘 자체는 꽤나 복잡하고, 대략적인 아이디어만 소개하는 것이 목표.

에러정정부호를 이용해 효율적인 COVID-19 검사가 가능하다

지난번 Zariski님의 포스트와 뉴욕타임즈 기사에 따르면 n명에 대한 COVID-19 검사를 실행하는데 뭔가 Group testing같은 기법을 이용해서 n/5번의 PCR검사로 가능하다고 한다. 즉 5배의 효율로 검사를 할 수 있다는 것.

과연 5배보다 더 잘 할수 있을까? PCR 검사에는 에러가 많을텐데, 이론적으로 에러에 robust한 것을 보장할 수 있을까?

놀랍게도 Science Advances에 실린 한 논문에 의하면 1.3%정도 이하의 사람이 양성인 경우 n명에 대해 n/8번의 PCR으로 검사 가능하다고 한다. 심지어 어느정도 에러에 robust 하다고 증명이 가능하다고 주장한다.

그 방법은 384명을 48개의 검사지로 나누고, 각 사람을 정확히 6개의 검사지에 넣어 각 검사지에 사람을 48명이 포함되게 만들고, 이를 이용해 분석한다고 한다. 각 사람이 어떤 검사지에 포함되는지는 Reed-Solomon Error correction code를 이용해 결정한다고.

방법이 굉장히 신기해서 좀 읽어보려고 했는데, -_- 도저히 무슨말인지 이해가 안된다. 대충 알아들은 것을 적으면

1. 48개의 검사지 중 40개 미만의 검사지가 양성이라고 가정하고,
2. Gradient Projection for Sparse Reconstruction 라는 방식을 이용해 가장 의심스러운 20명을 골라낸다.
3. 뭔가 optimization을 거쳐서 양성자를 찾아내는 듯 하다…?

당최 무슨말인지 이해할 수 없다 -_- Reed-Solomon code는 어떻게 썼다는 걸까? 결과는 놀랍지만… 이해하려면 시간을 더 들여야 하는듯 한데 그만큼 흥미는 없어서 패스..ㅋㅋ

정다면체는 48개 있다

우리는 초~중학교때 쯤 정다면체가 정사면체, 정팔면체, 정십면체, 정십이면체, 정이십면체의 5개가 있다고 배운다. 그리고 그 사실을 “증명”까지 했던 것 같다! 굉장히 빈약한 논리이긴 했지만 ㅋ. 하지만 아래 유튜브 영상에 따르면 사실 정다면체가 48개나 있다고 한다!!!

그림도 그려가며 아주 재미있게 설명하니 앞부분 일부를 슥슥 뛰어가며 감상하는 것을 추천. 누군가 한글 자막도 달아주었다!!

어릴 때 한 “증명”은 사실 문제가 없고, 그 정의가 엄밀하지 않았던 것에 있다. 우리가 했던 증명을 따르려면 다면체는 항상 볼록이여야할거고, 겹치는 부분이 없고, 어쩌구 저쩌구… 이런저런 조건들이 많이 필요하다. 이 영상에서 (그리고 아마 역사적으로) 고려한 “정다면체”는 각 면이 정다각형인 것보다 약간 일반적인 정의를 생각한다.

우선 정다각형은 각 변의 길이/변 사이의 (방향)각이 같은 것으로 생각한다. 근데 사실 이게 한 점을 “다음” 점으로 옮기면서 다각형의 형태를 유지할 수 있다는 것을 말하는 것이고, 이것을 “정다각형”으로 정의한다.

마찬가지로 정다면체는 임의의 꼭짓점/변/면을 다른 꼭짓점/변/면으로 옮기며 형태를 유지한 변환하는 점/변-추이성이 유지되는 3차원 공간의 다면체로 정의한다. 다면체는 각 변이 정확히 두개의 면의 교집합이여야 하고.

그러면 여기서 새로운 정다면체는 어떤 것들이 있을까? 원래 우리가 아는 정다면체 5개를 먼저 세자.

1. “별 모양” 같은 것도 사실 정다각형으로 생각할 수 있고, 이걸로 정다면체를 만들 수 있다. (이게 4개라고 한다.)
2. 정삼/사/육각형으로 평면을 가득 채우는 타일링도 사실 저 정의에서는 정다면체가 된다. (3개) 이처럼 공간에 무한히 뻗어가는 다른 정다면체들도 여러개 있다. (이런게 3개 더 있다고 한다)
3. 사실 정다면체가 정다각형인 면으로 이루어 질 필요가 없다는 것을 관찰하면 (이름과는 조금 다르지만…….), 각 “면” 비슷한 것이 정다각형의 각 변을 꼬아서 만든 것으로 만들어서, 새로운 15개의 정다각형을 만들 수 있다고 한다.
4. 이 다음부터는 더욱 더 복잡해지는듯 한데, 여러가지 테크닉, 예를 들어 정사각형을 위상수학에서 원의 covering space R을 생각하듯이…. 쭉 늘려서 새로운 3차원상의 정다각형을 만들고 이를 이용하는 방식으로 새로운 18개의 정다각형을 만들수 있다고 한다.

말로 설명하는 것보다 동영상이 훨씬 재밌을듯 하다. 그림을 그려주는 것에서 확실히 좋다 ㅎㅎ.